calculmentaldegabin

NOTA : Ici 10^a se lira "10 puissance a". (d'où 10^a = 10 x 10 x 10 x 10 x ... x 10  avec a termes égaux à 10).

EXCEPTION : 10^0 = 1.

1. NOMBRE ET CHIFFRE

La première chose importante est de se souvenir que dans notre société, on compte en base 10.

Rappel : Un nombre est une entité constituée de chiffres que l'on "colle" (sans espaces, sauf pour les groupes de trois chiffres tels que les milliers, les millions et les milliards...) entre eux.

Chaque entité numérique constituant le nombre est appelé : "chiffre".

Exemple : 265 893 est un nombre à 6 chiffres, respectivement : 2 ; 6 ; 5 ; 8 ; 9 ; 3

2. PROPRIÉTÉS DE LA BASE 10

2.1 définitions

 Etre en base 10 implique que si vous positionnez un curseur sur un nombre, vous allez avoir :

- pour n rang(s) "à gauche" de ce curseur, un chiffre qui compte 10^n fois plus (d'unités) que celui du curseur.

- pour n rang(s) "à droite" de ce curseur, un chiffre qui compte 10^n fois moins (d'unités) que celui du curseur.

N'oubliez jamais que tout nombre (non décimal) en base 10 est exprimé en "unités".

Ainsi : plus un chiffre est d'un "poids" important, plus il va tendre à avoir de "l'influence" sur la valeur du nombre dont il est une des entités numériques.

exemple : 265 893 (donc constitué des chiffres "2" , "6" , "5" , "8" , "9" et "3")

                   ♦ (curseur sur le "5")

1ère étape : Pour aller de "5" à "2" je déplace mon curseur de deux chiffres vers la gauche.

2ème étape : Ainsi, le "2" va compter pour 10 fois plus PUIS encore pour 10 fois plus (autant de "10 fois plus" que de chiffres dont le curseur s'est déplacé).

3ème étape :  Le "5" comptant pour "x1000" (car 5 est le chiffre des milliers du nombre 265 893), le "2" compte alors pour "x1000 x10 x 10" soit pour "x100 000"

CONCLUSION : Ainsi, le "5" de ce nombre compte pour 5x1000 = 5 000 unités et le "2" de ce nombre compte pour 2 x 100 000 = 200 000 unités.

2.2 Généralisation par la notion de "poids"

 Pour généraliser cette notion, on va donc utiliser la notion de "poids"(qui permet de manière "pratique" de désigner la position d'un chiffre dans un nombre).

DÉFINITION : Notez que la correspondance entre "poids" et position des chiffres dans le nombre est la suivante (et j'utiliserai TOUJOURS cette convention)  :

   Nombre avec les chiffres respectifs : a ; b ; c ; d ; e ;f

   "a" de"poids" égal à 5 ; "b" de poids égal à 4 , etc...

En d'autres termes, dans un nombre, le chiffre ayant le "poids" le plus élevé est celui qui est le plus à gauche.

Concernant les nombres à virgules (la virgule est ici au niveau du "f") :

    exemple : -584,476 admet un chiffre "6" de "poids" -3 et un  chiffre 5 de "poids" 3.

Vous pouvez maintenant relire le tout premier paragraphe de ce chapitre en incluant la notion de "poids".

Maintenant, voyons quelques propriétés :

PROPRIETE FONDAMENTALE 1 : le "poids" 0 d'un chiffre de n'importe quel nombre correspond au chiffre des UNITES.

PROPRIETE FONDAMENTALE 2 : en base 10, la valeur d'un nombre, avec les données suivantes (et extensibles à n'importe quel nombre) peut s'écrire sous la forme d'une somme de multiplications telles que  :

         Valeur du nombre abcdefgh = (10^0 x f) + (10^1 x e) +        (10^2 x d)  + (10^3 x c) + (10^4 x b) + (10^5 x a) = 1f + 10e +       100 d + 1 000c  + 10 000b + 100 000 a

Cette propriété est extensible à un nombre de n'importe quelle quantité de chiffres qui constitue le nombre.

2.3 Exemple illustré par la notion de "poids"

Soit le nombre 489 167. Reliez les différents chiffres de ce nombre avec la notion de poids et proposez une explication de l'écriture du nombre 489 167.

Réponse :

-le chiffre "4" ==> "poids" 5 soit  10^5 unités = 100 000 unités  (ce chiffre est 5 bonds à gauche du "7")

-le chiffre "8" ==> "poids" 4 soit  10^4 unités = 10 000 unités

-le chiffre "9"  ==> "poids" 3 soit  10^3 = 1 000 unités

-le chiffre "1" ==>  "poids" 2 soit 10^2 = 100 unités

-le chiffre "6" ==>  "poids" 1 soit 10^1 = 10 unités

-le chiffre "7" ==>  "poids" 0 = poids de l'unité (rappelez vous que 10^0 = 1 et 1 c'est UNE unité).

Ainsi 489 167 = 4 x 10^5 + 8 x 10^4 + 9 x 10^3 + 1 x 10^2 + 6 x 10^1 + 7 x 10^0  (par convention 10^0 = 0)

489 167 = 400 000 + 80 000 + 9 000 + 100 + 60 + 7

(Autre exemple 54,279 = 5 x 10^1 + 4 x 10^0 + 2 x 10^-1 + 7 x 10^-2 + 9 x 10^-3 = 50 + 4 + 0,2 + 0,07 + 0,009).

3. DU "POIDS" AUX UNITÉS, DIZAINES ET CENTAINES

3.1 Correspondances

Cette notion a été généralisée plus simplement dans les petites classes, et l'on a décidé que tout nombre écrit en base 10 est exprimé en unités.

ex : 161 189 est un nombre ayant 161 189 unités.

ex : 468 181 781 est un nombre ayant 468 181 781 unités.

ex (attention !) : 18,49 est un nombre ayant 18 unités et 49 centièmes.

PROPRIETE : Les nombres décimaux sont séparés en deux parties : "unités" et "fraction de 10 la plus petite possible déterminée par le chiffre ayant le poids le plus faible.

C'est ainsi que l'on a décidé que tout chiffre de "poids" 0 d'un nombre s'appelle celui des unités, (x1)

que tout chiffre de "poids"1  d'un nombre s'appelle celui des dizaines. (x10) ou ( / 0,1)

que tout chiffre de "poids" 2 d'un nombre s'appelle celui des centaines. (x100) ou ( / 0,01)

que tout chiffre de "poids" 3 d'un nombre s'appelle celui des milliers. (x1 000) ou ( / 0,001) , etc...

...mais aussi,

que tout chiffre de "poids" -1 d'un nombre s'appelle celui des dixièmes ( / 10) ou ( x 0,1)

que tout chiffre de "poids" -2 d'un nombre s'appelle celui des centièmes ( / 100) ou ( x 0,01)

que tout chiffre de "poids" -3 d'un nombre s'appelle celui des millièmes. ( / 1 000) ou (x 0,001)

3.2 Lien avec les conversions de mesure

On va pouvoir apprendre tout simplement comment on fait pour additionner deux nombres. On va apprendre cette mécanique toute dure, limite viscérale qui s'en dégage.

Avant toute chose, rappelons nous les conversions d'unités de mesure (comme dans les petites classes)

Pour ce faire, on faisait un tableau et si par exemple on voulait savoir combien faisait 728 cg en hg, il suffisait de placer l'unité de "728" en face de l'unité de la mesure de "728" (ici donc on place le "8" de 728 en face des cg ; les autres chiffres du 728, 'est - dire tous les chiffres de poids supérieur ou égal à 1, figurant à gauche du "8" de 728).

kg  hg  dag   g   dg   cg   mg

                     7    2     8

Une technique pour faire apparaître toutes les conversions sans jamais se fatiguer est de mettre des "zéros partout là où il n'y a pas de chiffre en théorie" (que ce soit à gauche ou a droite ici du nombre 728 qui est l'exemple illustratif.

kg  hg  dag   g   dg   cg   mg

0     0      0      7   2   8     0

Ainsi, la conversion s'effectue en considérant que le chiffre des unités (de la mesure initiale) est en face de la grandeur que l'on essaie de mesurer.

-Il suffira de rajouter autant de "0" à droite du nombre que l'on convertit afin de connaître la correspondance (en unités) avec une unité plus petite. Ici 728 cg = 7 280 mg. (j'ai rajouté "des" zéros jusqu'à "atteindre" les mg).

-Il suffira de rajouter autant de "0" à gauche du nombre que l'on convertit afin de connaître la correspondance (en unités) avec une unité plus grande. Ici 728 cg = 7,28 g (pour les grammes, "7" correspond aux unités de l'écriture "0007280" (qui n'est pas un nombre). Ainsi, si "7" est l'unité, alors "2" qui est de poids immédiatement inférieur à "7" est forcément de poids "-1" (l'unité est toujours de poids 0, c'est dit au DEBUT du cours) et donc il apparaît que 7 est le chiffre des dixièmes. Même raisonnement avec 8 qui est donc de poids "2" qui est donc le chiffre des centièmes. Ainsi, si l'unité devient le gramme, alors 728 cg = 7,28 cg.

4. L'ADDITION GRACE AU SYSTEME CDU (centaine, dizaine, unités)

4.1 Définition de l'addition.

RAPPEL : a + b (+ c) = d est une addition où a ; b (et c) sont des "termes" et d est appelé "somme".

DEFINITION : Une addition est une somme de nombres composés de chiffres allant chacun de 0 à 9 et de "poids" parfois différents. L'une des manières de la calculer avec de grands nombres est de rajouter entre eux, les chiffres (de chaque terme de l'addition) de même "poids" et de faire la somme de toutes les additions obtenues, d'où :

ou encore ADDITION = 1(chiffe de "poids" 0 du 1er nombre + chiffre de "poids" 0 du 2nd nombre) + 10(chiffre de "poids" 1 du 1er nombre + chiffre de "poids 1" du 2nd nombre) + 100(chiffre de "poids" 2 du 1er nombre + chiffre de "poids" du 2nd nombre) + ...

REMARQUE (!!) : Cette définition est extensible à une somme de plusieurs termes et aux nombres décimaux (rajouter les "poids" -1, -2 ...)

4.2 Exemples concrets de l'addition

Soit à faire le calcul suivant : 5 894 + 8 182 avec la notion d'unité, de dizaine...

m c  d u    m c d u

5  8 9 4  + 8 1  8 2 = (5+8) milliers + (8+1) centaines + (9+8) dizaines + (4+2) unités = 13 m + 9 c + 17 d + 6 u = 13 000 + 900 + 170 + 6 = 13 900 + 170 + 6 = 14 070 + 6 = 14 076

Cette méthode reste fastidieuse mais elle est parfaite pour faire mentalement certains calculs et elle est très intuitive.

Soit à faire à présent le calcul 15 087 + 6 348

 dm m c d u       m c d u

     1 5  0 87 +    6  3 4 8  = (1+0) dm + (5+6) m + (0+3) c + (8+4) d + (7+8) u = 1 dm + 11 m + 3 c + 12 d + 15 u = 10 000 + 11 000 + 300 + 120 + 15 = 21 000 + 435 = 21 435.

Maintenant que vous commencez à devenir grands, on va pouvoir se passer des indications "unités", "dizaines", "centaines"... (pour gagner de la place). Mais on applique toujours la même méthode, d'accord ?

Soit à faire à présent le calcul 189 547 + 261 358 :

189 547 + 261 358 = (1+2) x 100 000 + (8+6) x 10 000 + (9+1) x 1 000 + (5+3) x 100 + (4+5) x 10 + (8+7) = 300 000 + 140 000 + 10 000 + 800 + 90 + 15 = 440 000 + 10 895 = 450 905.

5. LA SOUSTRACTION GRACE AU SYSTÈME CDU (centaine, dizaines, unités)

5.1 Définition de la soustraction

RAPPEL : a - b (- c) = d est une soustraction où a ; b (et c) sont des "termes" et d est appelé "différence"

DEFINITION : Une soustraction est une différence de nombres composés de chiffres allant chacun de 0 à 9 et de "poids" parfois différents. L'une des manières de la calculer avec de grands nombres est de faire la différence entre eux des chiffres (de chaque terme de la soustraction) de même "poids" et de faire la somme de toutes les différences obtenues, d'où :

ou encore SOUSTRACTION = 1(chiffe de "poids" 0 du 1er nombre - chiffre de "poids" 0 du 2nd nombre) + 10(chiffre de "poids" 1 du 1er nombre - chiffre de "poids 1" du 2nd nombre) + 100(chiffre de "poids" 2 du 1er nombre - chiffre de "poids" du 2nd nombre) + ...

REMARQUE : Cette définition est extensible à une différence de plusieurs termes et aux nombres décimaux (rajouter les "poids" -1, -2 ...)

5.2 Exemples concrets de la soustraction

Soit à faire le calcul simple suivant : 574 - 231

 574 - 231 = (5-2) c + (7-3) d + (4-1)  u = 3 c + 4 d + 3 u = 300 + 40 + 3 = 343

Soit à faire le calcul suivant : 48 487 - 25 116

48 487 - 25 116 = (4-2) dm + (8-5) m + (4-1) c + (8-1) d + (7-6) u = 2 x 10 000 + 3 x 1 000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 1 x 1 = 23 371

Et si il y a des retenues, ça fonctionne comment ?

Ex : 726 143 - 589 767

726 143 - 589 767 = (7-5) cm + (2-8) dm + (6-9) m + (1-7) c + (4-6) d + (3-7) u = 2 cm - 6 dm  - 3 m - 6 c - 2 d - 4 u = 200 000 - 60 000 - 3 000 - 600 - 20 - 4 = 140 000 - 3 000 - 624 = 137 000 - 624 = 136 376.

Dernier exemple :

578 103 - 897 524 = (5-8) cm + (7-9) dm + (8-7) m + (1-5) c + (0-2) d + (3-4) u = -3 cm -2 dm + 1 m  - 4 c - 2 d - 1 u = -300 000 - 20 000 + 1 000 - 400 - 20 - 1 = -321 421 + 1 000 = -319 421.

6. QUELQUES ASTUCES POUR FAIRE SES ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS PLUS RAPIDEMENT

6.1 La soustraction (et l'addition) peuvent se faire plus rapidement en faisant des conversions d'un "poids" à un "poids" immédiatement plus fort ou faible

Exemple sur une soustraction :

54 735 - 26 891 = (5-2) dm + (4-6) m + (7-8) c + (3-9) d + (5-1) u = 3 dm -2 m - 1 c - 6 d + 4 u

Or 1 dm = 10 m (puisque l'on descend d'un "poids"). D'où 3 dm = 30 m

Or 1 c = 10 d , d'où -1 c = -10 d

Or 1 d = 10 u d'où 4 u = 0,4 d

Ainsi  : 54 735 - 26 891 = (5-2) dm + (4-6) m + (7-8) c + (3-9) d + (5-1) u = 3 dm -2 m - 1 c - 6 d + 4 u = 30 m - 2 m - 10 d - 6 d + 0,4 d = 28 m - 16 d + 0,4 d = 28 000 - 160 + 4  = 27 840 + 4 = 27 844.

N'hésitez pas à utiliser ce genre de techniques...

6.2 L'addition peut se faire plus rapidement en séparant la retenue de l'unité de la somme des chiffres de "poids" identiques

47 876 + 78 597 = (4+7) dm + (7+8) m + (8+5) c + (7+9) d + (6+7) u = 11 dm + 15 m + 13 c + 16 d + 13 u

Ici, quand vous avez des retenues positives, souvent dans de grosses additions où les sommes de chiffres de même "poids" excèdent 10, servez-vous de la propriété suivante :

Cette technique est aussi appelée "technique par décomposition de "poids" des différents nombres.

Vous pourriez faire ainsi des additions plus rapidement.

Ainsi 47 876 + 78 597 = (4+7) dm + (7+8) m + (8+5) c + (7+9) d + (6+7) u = (11 dm) + (15 m) + (13 c) + (16 d) + (13 u)  = (11 dm) + (1 dm + 5 m) + (1 m + 3 c) + (1 c + 6 d) + (1 d + 3 u) = (12 dm) + 6 m + 4 c + 7 d + 3u = 1 cm + 2 dm + 6 m + 4 c + 7 d + 3 u = 100 000 + 20 000 + 6 000 + 400 + 70 + 3 = 126 473.

Par exemple 8 m + 5 c + 2 d + 1 u = 8 521 MAIS 8 m + 5 c + 1 u est DIFFERENT de 851 et vaut en réalité 8 501 car il y a un "0 d" sous entendu : 8 m + 5 c + 1 u = 8 m + 5 c + 0 d + 1 u...

7. LIMITES DE CETTE MÉTHODE

- Cette méthode permet de résoudre rapidement et mentalement quelques petits calculs de tête, mais elle devient très vite encombrante au niveau de la place sur une feuille et au niveau de la mémoire dans l'aspect "mental".

- Il convient donc d'avoir recours à des méthodes bien plus rapides de résolution d'addition et de soustraction, bien que les astuces délivrées dans le paragraphe 6. sont déjà très bienvenues : la méthode des compléments et celle des "coupes" permet d'aller vraiment beaucoup plus vite et il est possible en moins d'une minute d'additionner deux nombres quelconques de 12 chiffres entre eux...

EXERCICES PROPOSES (pour vous entraîner) et corrigé donc en italique sur une couleur différente sur le PROCHAIN article !!!! :